Hilfreiche Ratschläge

So finden Sie den Widerstand von seriellen und parallelen Schaltungen

Serienwiderstand

Wir nehmen drei konstante Widerstände R1, R2 und R3 und verbinden sie mit der Schaltung, so dass das Ende des ersten Widerstandes R1 mit dem Anfang des zweiten Widerstandes R2, das Ende des zweiten mit dem Anfang des dritten Widerstandes R3 und mit dem Anfang des ersten Widerstandes und mit dem Ende des dritten Leiters verbunden ist von der Stromquelle (Abb. 1).

Diese Verbindung der Widerstände wird als seriell bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass der Strom in einem solchen Stromkreis an allen Punkten gleich ist.


Abb 1. Serienwiderstand

Wie kann man den Gesamtwiderstand eines Stromkreises bestimmen, wenn man bereits alle in ihm enthaltenen Widerstände in Reihe kennt? Unter Verwendung der Position, bei der die Spannung U an den Anschlüssen der Stromquelle gleich der Summe der Spannungsabfälle in den Abschnitten der Schaltung ist, können wir schreiben:

U1 = IR1 U2 = IR2 und U3 = IR3

IR = IR1 + IR2 + IR3

Wenn wir die rechte Seite von Gleichheit I in Klammern setzen, erhalten wir IR = I (R1 + R2 + R3).

Nachdem wir nun beide Seiten der Gleichheit durch I geteilt haben, haben wir endlich R = R1 + R2 + R3

So sind wir zu dem Schluss gekommen, dass bei einer Reihenschaltung von Widerständen der Gesamtwiderstand der gesamten Schaltung gleich der Summe der Widerstände einzelner Abschnitte ist.

Wir überprüfen diese Schlussfolgerung anhand des folgenden Beispiels. Nehmen Sie drei konstante Widerstände, deren Werte bekannt sind (z. B. R1 = 10 Ohm, R 2 = 20 Ohm und R 3 = 50 Ohm). Wir schalten sie in Reihe (Abb. 2) und verbinden sie mit einer Stromquelle, deren EMK 60 V beträgt (vernachlässigen Sie den Innenwiderstand der Stromquelle).


Abb. 2. Ein Beispiel für eine Reihenschaltung von drei Widerständen

Wir berechnen, welche Anzeigen die eingeschalteten Geräte geben sollen, wie im Diagramm gezeigt, wenn Sie den Stromkreis schließen. Wir bestimmen den externen Widerstand der Schaltung: R = 10 + 20 + 50 = 80 Ohm.

Ermitteln Sie den Strom im Stromkreis gemäß dem Ohmschen Gesetz: 60/80 = 0, 75 A

Wenn wir den Strom im Stromkreis und den Widerstand seiner Abschnitte kennen, bestimmen wir den Spannungsabfall für jeden Abschnitt des Stromkreises. U 1 = 0,75 × 10 = 7,5 V, U 2 = 0,75 × 20 = 15 V, U 3 = 0,75 × 50 = 37,5 V.

Wenn wir den Spannungsabfall in den Abschnitten kennen, bestimmen wir den gesamten Spannungsabfall im externen Stromkreis, d. H. Die Spannung an den Anschlüssen der Stromquelle beträgt U = 7,5 + 15 + 37,5 = 60 V.

Wir haben somit erhalten, dass U = 60 V ist, d. H. Die nicht vorhandene Gleichheit der EMK der Stromquelle und ihrer Spannung. Dies erklärt sich dadurch, dass wir den Innenwiderstand der Stromquelle vernachlässigt haben.

Nachdem wir nun den Schlüsselschalter K geschlossen haben, können wir anhand der Instrumente überprüfen, ob unsere Berechnungen ungefähr korrekt sind.

Parallelschaltung von Widerständen

Wir nehmen zwei konstante Widerstände R1 und R2 und verbinden sie so, dass die Anfänge dieser Widerstände in einem gemeinsamen Punkt a enthalten sind und die Enden in einem anderen gemeinsamen Punkt b. Nachdem wir die Punkte a und b mit der Stromquelle verbunden haben, erhalten wir einen geschlossenen Stromkreis. Diese Verbindung von Widerständen wird als Parallelschaltung bezeichnet.


Abb. 3. Parallelschaltung von Widerständen

Verfolgen wir den Stromfluss in dieser Schaltung. Vom positiven Pol der Stromquelle über den Verbindungsleiter gelangt der Strom zum Punkt a. Bei Punkt a verzweigt es sich, da sich hier die Kette selbst in zwei getrennte Zweige verzweigt: den ersten Zweig mit Widerstand R1 und den zweiten mit Widerstand R2. Bezeichnen Sie die Ströme in diesen Zweigen mit I1 bzw. I2. Jeder dieser Ströme verläuft entlang seines Zweigs zu Punkt b. An diesem Punkt verschmelzen die Ströme zu einem gemeinsamen Strom, der an den negativen Pol der Stromquelle gelangt.

Somit wird bei einer Parallelschaltung von Widerständen eine verzweigte Kette erhalten. Mal sehen, was das Verhältnis zwischen den Strömen in unserer Schaltung sein wird.

Wir schalten das Amperemeter zwischen dem Pluspol der Stromquelle (+) und Punkt a ein und notieren seine Messwerte. Nachdem Sie das Amperemeter (in der Abbildung als gestrichelte Linie dargestellt) in den Drahtverbindungspunkt b zum Minuspol der Stromquelle (-) eingefügt haben, stellen Sie fest, dass das Gerät dieselbe Stromstärke aufweist.

Dies bedeutet, dass die Stromstärke in der Schaltung vor ihrer Verzweigung (nach Punkt a) gleich der Stromstärke nach der Verzweigung der Schaltung (nach Punkt b) ist.

Wir werden nun abwechselnd in jeden Zweig des Stromkreises ein Amperemeter einbauen, wobei wir uns an die Messwerte des Geräts erinnern. Lassen Sie das Amperemeter die Stromstärke I1 im ersten Zweig und I2 im zweiten Zweig anzeigen. Wenn Sie diese beiden Amperemeter-Messwerte addieren, erhalten Sie den Gesamtstrom, dessen Wert dem Strom I vor dem Verzweigen entspricht (zu Punkt a).

Folglich ist die Stärke des zum Verzweigungspunkt fließenden Stroms gleich der Summe der von diesem Punkt fließenden Ströme. I = I1 + I2 Wenn wir dies mit der Formel ausdrücken, erhalten wir

Dieses Verhältnis, das von großer praktischer Bedeutung ist, nennt man das Gesetz einer verzweigten Kette.

Betrachten wir nun die Beziehung zwischen den Strömen in den Zweigen.

Schalten Sie ein Voltmeter zwischen den Punkten a und b ein und sehen Sie, was es uns zeigt. Zunächst zeigt das Voltmeter die Spannung der Stromquelle an, da diese angeschlossen ist, wie aus Abb. 3, direkt an die Klemmen der Stromquelle. Zweitens zeigt das Voltmeter die Spannungsabfälle U1 und U2 an den Widerständen R 1 und R2 an, da es an den Anfang und das Ende jedes Widerstands angeschlossen ist.

Daher ist bei einer Parallelschaltung der Widerstände die Spannung an den Anschlüssen der Stromquelle gleich dem Spannungsabfall an jedem Widerstand.

Dies gibt uns das Recht zu schreiben, dass U = U1 = U2,

Dabei ist U die Spannung an den Anschlüssen der Stromquelle, U 1 der Spannungsabfall am Widerstand R 1, U2 der Spannungsabfall am Widerstand R2. Es sei daran erinnert, dass der Spannungsabfall in einem Abschnitt eines Stromkreises numerisch dem Produkt des durch diesen Abschnitt fließenden Stroms und dem Widerstand des Abschnitts U = IR entspricht.

Daher können Sie für jeden Zweig schreiben: U1 = I1R1 und U2 = I2R2, aber da U1 = U2, dann I1R1 = I2R2.

Wendet man die Proportionsregel auf diesen Ausdruck an, erhält man I1 / I2 = U2 / U1, d. H. Der Strom im ersten Zweig ist so oft (oder weniger) wie der Strom im zweiten Zweig, und wie oft ist der Widerstand des ersten Zweigs geringer (oder höher) als der Widerstand des zweiten Zweigs Zweige.

Wir sind also zu dem wichtigen Schluss gekommen, dass sich bei Parallelschaltung der Widerstände der Gesamtstrom der Schaltung in Ströme verzweigt, die umgekehrt proportional zu den Widerstandswerten der Parallelzweige sind. Mit anderen Worten, je größer der Widerstand des Zweigs ist, desto geringer ist der durch ihn fließende Strom, und umgekehrt ist der durch diesen Zweig fließende Strom umso größer, je geringer der Widerstand des Zweigs ist.

Wir werden die Richtigkeit dieser Abhängigkeit im folgenden Beispiel überprüfen. Wir bauen eine Schaltung auf, die aus zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2 besteht, die an eine Stromquelle angeschlossen sind. Sei R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm und U = 3 V.

Wir berechnen zunächst, was der in jedem Zweig enthaltene Amperemeter uns anzeigt:

I1 = U / R1 = 3/10 = 0,3 A = 300 mA

I 2 = U / R 2 = 3/20 = 0,15 A = 150 mA

Gesamtstrom im Stromkreis I = I1 + I2 = 300 + 150 = 450 mA

Unsere Berechnung bestätigt, dass bei Parallelschaltung der Widerstände der Strom im Stromkreis umgekehrt zu den Widerständen verzweigt.

In der Tat ist R1 == 10 Ohm halb so groß wie R2 = 20 Ohm, während I1 = 300 mA doppelt so groß ist wie I2 = 150 mA. Der Gesamtstrom im Stromkreis I = 450 mA verzweigte sich in zwei Teile, so dass der größte Teil davon (I1 = 300 mA) einen kleineren Widerstand (R1 = 10 Ohm) und ein kleinerer Teil (R2 = 150 mA) einen größeren Widerstand (R) durchlief 2 = 20 Ohm).

Diese Stromverzweigung in parallelen Zweigen ähnelt dem Flüssigkeitsstrom durch Rohre. Stellen Sie sich ein Rohr A vor, das sich irgendwann in zwei Rohre B und C mit unterschiedlichen Durchmessern verzweigt. Da der Durchmesser des Rohrs B größer als der Durchmesser der Rohre B ist, wird mehr Wasser gleichzeitig durch das Rohr B geleitet als durch das Rohr B, das einen größeren Widerstand gegen den Wasserfluss aufweist.

Abb. 4. In derselben Zeitspanne fließt weniger Wasser durch ein dünnes Rohr als durch ein dickes

Wir überlegen nun, wie hoch der Gesamtwiderstand des externen Stromkreises aus zwei parallel geschalteten Widerständen sein wird.

Unter diesem gemeinsamen Widerstand des externen Stromkreises ist es notwendig, einen solchen Widerstand zu verstehen, der bei einer gegebenen Spannung des Stromkreises durch beide parallel geschalteten Widerstände ersetzt werden könnte, ohne den Strom vor dem Verzweigen zu verändern. Dieser Widerstand wird als Ersatzwiderstand bezeichnet.

Kehren wir zu der in Abb. 1 gezeigten Schaltung zurück. 3 und sehen, wie hoch der Ersatzwiderstand zweier parallel geschalteter Widerstände sein wird. Unter Anwendung des Ohmschen Gesetzes auf diese Schaltung können wir schreiben: I = U / R, wobei I der Strom in der externen Schaltung (zum Verzweigungspunkt) ist, U die Spannung der externen Schaltung ist, R der Widerstand der externen Schaltung ist, d. H. Der Ersatzwiderstand.

In ähnlicher Weise ist für jeden Zweig I1 = U1 / R1, I2 = U2 / R2, wobei I1 und I2 die Ströme in den Zweigen sind, U1 und U2 die Spannung an den Zweigen sind, R1 und R2 der Widerstand der Zweige sind.

Nach dem Gesetz einer verzweigten Kette: I = I1 + I2

Wenn wir die aktuellen Werte einsetzen, erhalten wir U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Da bei Parallelschaltung U = U1 = U2 U / R = U / R1 + U / R2 geschrieben werden kann

Wenn Sie U auf die rechte Seite der Gleichheit in Klammern setzen, erhalten Sie U / R = U (1 / R1 + 1 / R2).

Nachdem wir nun beide Seiten der Gleichheit durch U geteilt haben, haben wir endlich 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2

Wenn man bedenkt, dass die Umkehrung des Widerstands als Leitfähigkeit bezeichnet wird, kann man sagen, dass in der resultierenden Formel 1 / R die Leitfähigkeit des externen Stromkreises ist, 1 / R1 die Leitfähigkeit des ersten Zweigs ist, 1 / R2 die Leitfähigkeit des zweiten Zweigs.

Anhand dieser Formel schließen wir: Bei einer Parallelschaltung ist die Leitfähigkeit des externen Stromkreises gleich der Summe der Leitfähigkeiten der einzelnen Zweige.

Um den Ersatzwiderstand der parallel geschalteten Widerstände zu bestimmen, ist es daher erforderlich, die Leitfähigkeit des Stromkreises zu bestimmen und den entgegengesetzten Wert anzunehmen.

Aus der Formel folgt auch, dass die Leitfähigkeit des Stromkreises größer ist als die Leitfähigkeit jedes Zweiges, was bedeutet, dass der Ersatzwiderstand des externen Stromkreises kleiner ist als der kleinste der parallel geschalteten Widerstände.

Im Falle einer Parallelschaltung von Widerständen haben wir den einfachsten Stromkreis genommen, der aus zwei Zweigen besteht. In der Praxis kann es jedoch vorkommen, dass eine Kette aus drei oder mehr parallelen Zweigen besteht. Was ist in diesen Fällen zu tun?

Es zeigt sich, dass alle erhaltenen Beziehungen für eine Schaltung gültig bleiben, die aus einer beliebigen Anzahl von parallel geschalteten Widerständen besteht.

Betrachten Sie das folgende Beispiel, um dies zu überprüfen.

Wir nehmen drei Widerstände R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm und R3 = 60 Ohm und schalten sie parallel. Bestimmen Sie den Ersatzschaltwiderstand (Abb. 5).


Abb. 5. Eine Kette mit drei parallel geschalteten Widerständen

Wendet man für diese Kette die Formel 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 an, so kann man 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 schreiben und erhält durch Substitution der bekannten Größen 1 / R = 1/10 + 1 / 20 + 1/60

Addieren wir diesen Bruchteil: 1 / R = 10/60 = 1/6, d. H. Die Leitfähigkeit der Schaltung ist 1 / R = 1/6. Daher ist der Ersatzwiderstand R = 6 Ohm.

Somit ist der Ersatzwiderstand kleiner als der kleinste der in der Schaltung parallel enthaltenen Widerstände, d. H. Kleiner als der Widerstand R1.

Nun wollen wir sehen, ob dieser Widerstand wirklich äquivalent ist, dh einen Widerstand, der 10, 20 und 60 Ohm, die parallel geschaltet sind, ersetzen kann, ohne die Stromstärke bis zum Verzweigen des Stromkreises zu ändern.

Angenommen, die Spannung des externen Stromkreises und damit die Spannung an den Widerständen R1, R2, R3 beträgt 12 V. Dann ist die Stromstärke in den Zweigen: I1 = U / R1 = 12/10 = 1, 2 A I 2 = U / R 2 = 12/20 = 1, 6 A I 3 = U / R1 = 12/60 = 0, 2 A

Wir erhalten den Gesamtstrom in der Schaltung mit der Formel I = I1 + I2 + I3 = 1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 A.

Wir prüfen nach der Formel des Ohmschen Gesetzes, ob sich im Stromkreis ein Strom mit einer Kraft von 2 A ergibt, wenn anstelle der drei uns bekannten Parallelwiderstände ein Ersatzwiderstand von 6 Ohm eingeschaltet ist.

I = U / R = 12/6 = 2 A

Wie Sie sehen, ist der Widerstand, den wir für R = 6 Ohm gefunden haben, für diese Schaltung wirklich äquivalent.

Dies kann auch bei Messgeräten beobachtet werden, wenn wir einen Stromkreis mit den von uns genommenen Widerständen zusammenbauen, den Strom im externen Stromkreis messen (vor dem Verzweigen), dann die parallel geschalteten Widerstände gegen einen Widerstand von 6 Ohm austauschen und den Strom erneut messen. Die Messwerte des Amperemeter sind in beiden Fällen ungefähr gleich.

In der Praxis können auch Parallelverbindungen gefunden werden, für die es einfacher ist, den äquivalenten Widerstand zu berechnen, d. H. Ohne zuerst die Leitfähigkeiten zu bestimmen, den Widerstand sofort zu finden.

Wenn beispielsweise zwei Widerstände R1 und R2 parallel geschaltet sind, kann die Formel 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 wie folgt konvertiert werden: 1 / R = (R2 + R1) / R1 R2 und durch Lösen der Gleichheit in Bezug auf R wird R = erhalten R1 x R2 / (R1 + R2), d. H., Wenn zwei Widerstände parallel geschaltet sind, ist der Ersatzschaltwiderstand gleich dem Produkt der parallel geschalteten Widerstände geteilt durch ihre Summe.

Sehen Sie sich das Video an: Reihen-, Serien- und Parallelschaltung von Widerständen - REMAKE Gehe auf (Dezember 2019).