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Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren, Methoden und Zerlegungsbeispiele

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Es gibt einen Aufgabentyp, bei dem das Gegenteil durch eine Zahl angezeigt wird, die bereits in einem fehlerhaften Format dargestellt ist. In diesem Fall wird ein Blatt Papier entnommen und alle Bestandteile der Zahl werden in der Reihenfolge von rechts nach links geschrieben, von kleiner nach größer. Ein Beispiel:

Die Zahl ist in 4 Einheiten, 8 Zehner, 7 Hunderter und 4 Tausender unterteilt. Um es zu sammeln, müssen Sie in der Reihenfolge von rechts nach links von Einheiten bis zu Tausenden die Zahl schreiben:
4784.

  • Zehntausende im Jahr 2018
  • Teilen Sie die Zahl 1234 in Begriffe auf

Was bedeutet es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen?

Zunächst werden wir herausfinden, welche Primfaktoren vorliegen.

Es ist klar, dass, da das Wort "Faktoren" in dieser Phrase vorhanden ist, ein Produkt einiger Zahlen stattfindet und das qualifizierende Wort "Prim" bedeutet, dass jeder Faktor eine Primzahl ist. Zum Beispiel gibt es in einem Produkt der Form 2 · 7 · 7 · 23 vier Primfaktoren: 2, 7, 7 und 23.

Aber was bedeutet es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen?

Dies bedeutet, dass diese Zahl als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden muss und der Wert dieses Produkts gleich der ursprünglichen Zahl sein muss. Betrachten Sie als Beispiel das Produkt der drei Primzahlen 2, 3 und 5: Es ist 30, daher hat die Zerlegung von 30 in Primfaktoren die Form 2 · 3 · 5. Normalerweise wird die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren in Form von Gleichheit geschrieben. In unserem Beispiel ist dies: 30 = 2 · 3 · 5. Wir betonen gesondert, dass einfache Faktoren bei der Zerlegung wiederholt werden können. Das folgende Beispiel zeigt dies deutlich: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Eine Darstellung der Form 45 = 3 · 15 ist jedoch keine Faktorisierung, da die Zahl 15 zusammengesetzt ist.

Es stellt sich folgende Frage: "Welche Zahlen können generell faktorisiert werden?"

Auf der Suche nach einer Antwort geben wir die folgenden Gründe an. Primzahlen gehören per Definition zu positiven ganzen Zahlen, die größer als eins sind. Angesichts dieser Tatsache und der Regeln für die Multiplikation von ganzen Zahlen kann argumentiert werden, dass das Produkt mehrerer Primfaktoren eine positive ganze Zahl ist, die eine übersteigt. Daher erfolgt die Faktorisierung nur für positive ganze Zahlen, die größer als 1 sind.

Aber sind alle ganzen Zahlen, die eine Zahl überschreiten, in Primfaktoren zerlegt?

Es ist klar, dass es nicht möglich ist, ganze Primzahlen zu berücksichtigen. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass Primzahlen nur zwei positive Teiler haben - einen und sich selbst, daher können sie nicht als Produkt von zwei oder mehr Primzahlen dargestellt werden. Wenn die ganze Zahl z als Produkt der Primzahlen a und b dargestellt werden könnte, würde das Konzept der Teilbarkeit zu der Schlussfolgerung führen, dass z durch a und b teilbar ist, was aufgrund der Einfachheit der Zahl z unmöglich ist. Es wird jedoch angenommen, dass jede Primzahl selbst eine Zerlegung ist.

Was ist mit zusammengesetzten Zahlen? Werden zusammengesetzte Zahlen in Primfaktoren zerlegt und unterliegen alle zusammengesetzten Zahlen einer solchen Zerlegung? Eine bejahende Antwort auf eine Reihe dieser Fragen liefert der Grundsatz der Arithmetik. Der Grundsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl a, die größer als 1 ist, in das Produkt der Primfaktoren p zerlegt werden kann1, p2, ..., pn hat die Zersetzung die Form a = p1P2· ... · pn , und diese Zerlegung ist eindeutig, wenn Sie die Reihenfolge der Faktoren nicht berücksichtigen

Canonical Prime Factorization

Bei der Erweiterung der Zahl können Primfaktoren wiederholt werden. Wiederholte Primfaktoren können mit der Potenz einer Zahl kompakter geschrieben werden. Nehmen wir an, dass bei der Expansion von a ein Primfaktor p1 trifft s1 Zeiten, Primfaktor p2 - s2 Zeiten und so weiter, pn - sn mal. Dann kann die Primfaktorisierung von a als a = p geschrieben werden1 s1 P2 s2 · ... · pn sn . Diese Form der Aufnahme ist die sogenannte kanonische Primfaktorisierung.

Geben wir ein Beispiel für die kanonische Faktorisierung einer Zahl. Lassen Sie uns die Zerlegung 609 840 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11 kennen, ihre kanonische Schreibform hat die Form 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2.

Die kanonische Faktorisierung der Zahl ermöglicht es Ihnen, alle Teiler der Zahl und die Anzahl der Teiler der Zahl zu finden.

Prime-Faktorisierungsalgorithmus

Um die Aufgabe der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren erfolgreich zu bewältigen, müssen Sie die Informationen in den Artikelprimzahlen und zusammengesetzten Zahlen sehr gut kennen.

Das Wesen des Zerlegungsprozesses einer positiven ganzen Zahl a größer als Eins ergibt sich aus dem Beweis des Hauptsatzes der Arithmetik. Die Bedeutung ist, nacheinander die kleinsten Primteiler p zu finden1, p2, ..., pn Zahlen a, a1a2, ..., an-1 , wodurch wir die Reihe der Gleichungen a = p erhalten können1A1 wo ein1= a: p1 a = p1A1= p1P2A2 wo ein2= a1: p2 , ..., a = p1P2· ... · pnAn wo einn= an-1: pn . Wann macht an= 1, dann ist die Gleichheit a = p1P2· ... · pn wird uns die gewünschte Faktorisierung von a geben. Es sei hier angemerkt, dass p1≤p2≤p3≤ ... ≤ pn .

Es bleibt die Aufgabe, bei jedem Schritt die kleinsten Primteiler zu finden, und wir werden einen Algorithmus zum Zerlegen der Zahl in Primfaktoren haben. Die Suche nach Primteilern hilft uns bei der Erstellung einer Primzahlentabelle. Wir zeigen, wie man damit den kleinsten Primteiler von z erhält.

Wir nehmen der Reihe nach Primzahlen aus der Primzahlentabelle (2, 3, 5, 7, 11 usw.) und dividieren die gegebene Zahl z durch sie. Die erste Primzahl, in die z vollständig unterteilt ist, ist der kleinste Primteiler. Wenn z Primzahl ist, dann ist sein kleinster Primteiler selbst z. Hier sei daran erinnert, dass wenn z keine Primzahl ist, sein kleinster Primteiler eine Zahl nicht überschreitet, wobei die arithmetische Quadratwurzel von z ist. Wenn es also keinen einzelnen Teiler von z unter den Primzahlen gibt, der nicht größer als z ist, können wir daraus schließen, dass z eine Primzahl ist (für weitere Einzelheiten siehe den theoretischen Abschnitt unter der Überschrift, dass diese Zahl eine Primzahl oder eine Verbindung ist).

Als Beispiel zeigen wir, wie man den kleinsten Primteiler von 87 findet. Nehmen Sie die Nummer 2. Teilen Sie 87 durch 2, Sie erhalten 87: 2 = 43 (Rest 1) (siehe Artikel über die Regel und Beispiele zum Teilen von ganzen Zahlen mit dem Rest, falls erforderlich). Das heißt, wenn 87 durch 2 geteilt wird, ist der Rest 1, sodass 2 kein Divisor von 87 ist. Wir entnehmen der Primzahlentabelle die folgende Primzahl, dies ist die Zahl 3. Teilen Sie 87 durch 3, wir erhalten 87: 3 = 29. Somit ist 87 vollständig durch 3 teilbar, daher ist 3 der kleinste Primteiler von 87.

Beachten Sie, dass wir im allgemeinen Fall für Primfaktoren von a eine Primtabelle bis zu einer Zahl von nicht weniger als benötigen. Wir müssen uns bei jedem Schritt an diesen Tisch wenden, also müssen wir ihn zur Hand haben. Um beispielsweise in Primfaktoren von 95 zu zerlegen, benötigen wir nur eine Tabelle mit Primzahlen bis 10 (da 10 mehr ist als). Und für die Erweiterung der Zahl 846.653 wird eine Primzahlentabelle bis zu 1.000 benötigt (da es 1.000 mehr als gibt).

Jetzt haben wir genug Informationen, um sie aufzuzeichnen Primfaktorisierungsalgorithmus. Der Zerlegungsalgorithmus der Zahl a lautet wie folgt:

  • Indem wir die Zahlen aus der Primzahlentabelle nacheinander sortieren, finden wir den kleinsten Primteiler p1 Zahlen a, nach denen wir a berechnen1= a: p1 . Wenn a1= 1, dann ist die Zahl a eine Primzahl und sie selbst ist ihre Expansion in Primfaktoren. Wenn a1 ist gleich 1, dann haben wir a = p1A1 und fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
  • Finden Sie den kleinsten Primteiler p2 Zahlen a1 Dazu sortieren wir die Zahlen aus der Primzahlentabelle, beginnend mit p1 , danach berechnen wir a2= a1: p2 . Wenn a2= 1, dann ist die gewünschte Faktorisierung von a a = p1P2 . Wenn a2 ist gleich 1, dann haben wir a = p1P2A2 und fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
  • Durchlaufen von Zahlen aus einer Primzahlentabelle beginnend mit p2 finden Sie den kleinsten Primteiler p3 Zahlen a2 , danach berechnen wir a3= a2: p3 . Wenn a3= 1, dann ist die gewünschte Faktorisierung von a a = p1P2P3 . Wenn a3 ist gleich 1, dann haben wir a = p1P2P3A3 und fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
  • Finden Sie den kleinsten Primteiler pn Zahlen an-1 Primzahlen sortieren beginnend mit pn-1 sowie an= an-1: pn und an es stellt sich heraus, 1 zu sein. Dieser Schritt ist der letzte Schritt des Algorithmus, hier erhalten wir die gewünschte Faktorisierung der Zahl a: a = p1P2· ... · pn .

Alle Ergebnisse, die bei jedem Schritt des Algorithmus zum Zerlegen der Zahl in Primfaktoren erhalten wurden, sind der Klarheit halber in der folgenden Tabelle dargestellt, in der die Zahlen a, a nacheinander in die Spalte links vom vertikalen Balken geschrieben sind1a2, ..., an und rechts von der Linie sind die entsprechenden kleinsten Primteiler p1, p2, ..., pn .

Es bleiben nur einige Beispiele für die Anwendung des erhaltenen Algorithmus zur Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren zu betrachten.

Prime Factor Beispiele

Jetzt werden wir im Detail analysieren Beispiele für die Primfaktorisierung. In der Erweiterung wenden wir den Algorithmus aus dem vorherigen Absatz an. Beginnen wir mit einfachen Fällen, und wir werden sie schrittweise komplizieren, um alle möglichen Nuancen zu finden, die entstehen, wenn die Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Wie faktoriert man Zahlen?

Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt ihrer Hauptteiler dargestellt werden:

Die rechten Seiten der erhaltenen Gleichungen werden aufgerufen Primfaktorisierung Nummern 15 und 28.

Eine gegebene zusammengesetzte Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, bedeutet, diese Zahl als Produkt ihrer Primteiler darzustellen.

Die Zerlegung dieser Zahl in Primfaktoren ist wie folgt:

  1. Zuerst müssen Sie die kleinste Primzahl aus der Primzahlentabelle auswählen, durch die diese zusammengesetzte Zahl ohne Rest teilbar ist, und die Division durchführen.
  2. Als nächstes müssen Sie erneut die kleinste Primzahl auswählen, durch die der bereits erhaltene Quotient ohne Rest geteilt wird.
  3. Die zweite Aktion wird wiederholt, bis eine Einheit im Quotienten erhalten wird.

Als Beispiel zerlegen wir die Zahl 940 in Primfaktoren. Wir finden die kleinste Primzahl geteilt durch 940. Diese Zahl ist 2:

Nun wählen wir die kleinste Primzahl, die durch 470 geteilt wird. Diese Zahl ist wieder 2:

Die kleinste Primzahl, die 235 teilt, ist 5:

Die Zahl 47 ist eine Primzahl, was bedeutet, dass die kleinste Primzahl, durch die 47 geteilt wird, die Zahl selbst ist:

So erhalten wir die Zahl 940, zerlegt in Primfaktoren:

940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47

Wenn wir bei der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren mehrere identische Faktoren erhalten, können sie der Kürze halber als Potenz geschrieben werden:

940 = 2 2 · 5 · 47

Die Primfaktorisierung wird am bequemsten wie folgt geschrieben: Notieren Sie sich zuerst diese zusammengesetzte Zahl und zeichnen Sie einen vertikalen Balken rechts davon:

Rechts von der Zeile schreiben wir den kleinsten einfachen Teiler, in den diese zusammengesetzte Zahl unterteilt ist:

Wir führen die Division durch und der aus der Division resultierende Quotient wird unter der Dividende geschrieben:

Wir behandeln den Quotienten auf dieselbe Weise wie die gegebene zusammengesetzte Zahl, d. H. Wir wählen die kleinste Primzahl aus, durch die er ohne Rest teilbar ist, und führen die Division durch. Und so wiederholen wir, bis eine Einheit im Quotienten erhalten wird:

Bitte beachten Sie, dass es manchmal schwierig ist, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, da es bei der Zerlegung zu einer großen Zahl kommen kann, die nur schwer auf Anhieb zu bestimmen ist, ob sie einfach oder zusammengesetzt ist. Und wenn es zusammengesetzt ist, ist es nicht immer einfach, den kleinsten einfachen Teiler zu finden.

Versuchen wir zum Beispiel, 5106 in Primfaktoren zu zerlegen:

Wenn Sie den privaten 851 erreicht haben, ist es schwierig, den kleinsten Teiler sofort zu bestimmen. Wir wenden uns der Primzahlentabelle zu. Wenn es eine Zahl gibt, die uns in Schwierigkeiten bringt, dann wird sie nur durch sich selbst und durch eine geteilt. Die Zahl 851 ist nicht in der Primzahlentabelle, was bedeutet, dass es sich um eine Zusammensetzung handelt. Es bleibt nur, es durch die Methode der sequentiellen Suche in Primzahlen zu teilen: 3, 7, 11, 13 ,. und so weiter, bis wir einen geeigneten Primteiler gefunden haben. Unter Verwendung der Aufzählungsmethode stellen wir fest, dass 851 durch die Zahl 23 geteilt wird:

So erhalten wir die Zahl 5106, zerlegt in Primfaktoren:

5106 = 2 · 3 · 23 · 37

Sehen Sie sich das Video an: Primfaktorzerlegung. Bruchrechnung. Mathematik - einfach erklärt (Dezember 2022).

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